Classification and solution of quasigroup functional equations of the type (4;2).
Keywords:
quasigroup, parastrophe, inverse function, functional equationAbstract
Identities that define the inverse function (quasigroup) are called primary. Conversions of functional equations using these identities are also called primary. Two functional equations are called primarily (parastrophically) equivalent, if you can go from one equation to another with the help of the finite number of applications of the primary transformations. In this article, the results of classification and solution of general quasigroup functional equations of the type (2,2) and (3,2) are systematized. General quasigroup functional equations of the type (4,2) are classified, as a result, 6 classes are obtained, six equations, which are the representatives of these classes are solved on the set of inverse binary functions.References
Aczel J. Lectures on Functional Equations and their applications / J. Aczel. – New York: Acad. press, 1966. – 510 p.
Ацель Я. Функциональные уравнения с несколькими переменными / Я. Ацель, Ж. Домбр. – М.: Физматлит, 2003. – 432 с.
Taylor M.A. A generalization of a theorem of Belousov / M.A. Taylor // Bull. London Math. Soc. – 1978. – V. 10, № 3. – P. 285-286.
Глухов М.М. О применениях квазигрупп в криптографии / М.М. Глухов // Прикладная дискретная математика. − 2008. – V. 2, № 2. − C. 28-32.
Белоусов В.Д. Основы теории квазигрупп и луп / В.Д. Белоусов – М.: Наука, 1967. – 222 с.
McKay B. D. On the number of Latin Squares / B.D. McKay, I. Wanless // Ann. Combin. − 2005. − V. 9. − P. 335-344.
Белоусов В.Д. Уравновешенные тождества в квазигруппах / В.Д. Белоусов // Мат. сб. – 1966. – 70(112):І. – 55-97 с.
Чебан А.М. Системы квазигрупп с обобщённым тождеством Муфанг / А.М. Чебан // Мат.исследования. – 1971. – т.VI, вып.3, – Кишинев. – С. 180-187.
Кrstic S. Kvadratni kvazigrupni identiteti: PhD thesis / S. Кrstic. – Belgrade: University of Belgrade, 1985. – 105 p.
Duplak J. Identities and deleting maps on quasigroups / J. Duplak // Math. Institute of the Czechoslovak Academy of Scien. 1988. – Vol. 38(113), – N.1. –P. 1-7.
Krapež A. Simiс S.K., Tosic D.V., Parastrophically uncancellable quasigroup equations / A. Krapež, S.K. Simiс, D.V. Tosic // Aequat. Mathem. 79, – 2010. – P. 261-280.
Сохацький Ф.М. Про класифікацію функційних рівнянь на квазігрупах / Ф.М. Сохацький // Український математичний журнал. – 2004.– Т. 56, № 9. – С. 1259-1266.
Белоусов В.Д. Системы квазигрупп с обобщёнными тождествами / В.Д. Белоусов // УМН. ХХ, І. – 1965. – Т. 75- 146 с.
Чебан А.М. Системы квазигрупп с обобщённым тождеством Бола / А.М. Чебан // Вопросы теории квазигрупп и луп – Кишинев. – 1971. – С. 165-175.
Сохацький Ф.М. Асоціати та розклади багатомісних операцій: дисертація на здобуття наук. ступ. доктора фіз.- мат. наук: 01.01.06 / Сохацьий Федір Михайлович. – Київ, 2006. – 334 c.
Коваль Р. Класифікація функційних рівнянь малої довжини на квазігрупових операціях: дисертація на здобуття наук. ступ. кандидата фіз.-мат. наук 01.01.06 / Коваль Р. – Вінницький держ. педагогічний ун-т ім. М. Коцюбинського. – Вінниця, 2005. – 133 с.
Krapež A. Strictly quadratic functional equations on quasigroups / A. Krapež // Publ.Inst.Math. – 1981 – №29(43). – P.125-138.
Krainichuk H.V. Classification and solution of functional equations of the type (4;2) on quasigroups / H.V. Krainichuk // Communications of the 20th Conference on applied and industrial mathematics dedicated to academician Mitrofan M.Ciobanu, Аugust 22−25, 2012. − Chisinau, 2012. − P.138−139.
Krainichuk Halyna On classification of identities of the type (4;2) on quasigroups /H. Krainichuk // Abstracts of Reports of International conference dedicated to the 120-th anniversary of Stefan Banach, September 17-21, 2012: – Lviv. – 2012. – P.256.
Sokhatsky Fedir. A note on loops / Fedir Sokhatsky // Book of Extended Abstracts. − Mathematics & IT: research and education MITRE-2015: international conference: Jule 2-5, 2015. − Chisinau, 2015. − P. 35-36.
Крайнічук Г.В. Деякі розв’язки функційних рівнянь типу (4;2) на квазігрупах / Г.В. Крайнічук // Сучасні проблеми математики та її застосування у природничих науках та інформаційних технологіях: міжн. наук. конф. для молодих вчених, 25-26 квітня 2014 р. – Харків: ХНУ імені В.Н. Каразіна, 2014. – с. 9-10.
Krainichuk H.V. Оn a solution of a functional equation of type (4;2) on quasigroup / H.V. Krainichuk // XI Белорусская математическая конференція: международная научная конференція: тезисы докладов. Часть 5. Алгебра и теория чисел. – Минск: Белорусский государственный университет, 2012. – С.61-62.
Белоусов В.Д. Парастрофно-ортогональные квазигруппы / В.Д. Белоусов // Кишинев: Штиинца. − 1983. – 52 с.
Belousov V.D. Parastrophic-orthogonal quasigroups / V.D. Belousov // Quasigrops and related systems. – 2005. – V. 13, № 1, − P. 25-72.
McKay B. D. On the number of Latin Squares / B.D. McKay, I.M. Wanless // Ann. Combin. − 2005. − № 9. − P. 335- 344.
