Classification of binary quasigroup functional equations and identities of the length three.
DOI:
https://doi.org/10.31558/1817-2237.2017.1-2.4Keywords:
invertible operation (quasigroup), parastrophe, loop, isotope, identity, functional equation, equivalence, parastrophic symmetryAbstract
In this paper, the generalized functional equations of length three are classified into 4 different classes up to parastrophically-primary equivalence. Using the parastrophic symmetry method, generalized parastrophic identities up to equivalence that define parastrophic varieties are classified. As a result, 20 different varieties that are solutions of the corresponding functional equations are obtained.
References
Aczel J Lectures on Functional Equations and their applications. // New York: Acad. press. - 1966. - P.510.
Aczel J., Belousov V.D., Hosszu M., Generalized associativity and bisymmetry on quasigroups // Acta. Math. Acad. Sci. Hung. - 11/1-2. - 1960. - С.127–136.
Белоусов В.Д., Ассоциативные системы квазигрупп //Успехи мат. наук. - 13, 3(81). - 1958. - С.243.
Белоусов В.Д. Системы квазигрупп с обобщёнными тождествами. // УМН. - Т.20. - 1965. – N 1(121). - С.75-146.
Белоусов В.Д. Уравновешенные тождества в квазигруппах // Мат. сб. - Т.70. - 1966. - N.1(112). - С.55-97.
Белоусов В.Д. Парастрофно-ортогональные квазигруппы // Препринт Акад. наук Молдавской ССР, Изд. Штиинца, Кишинев. - 1983. - 50с.
Belousov V. D. Parastrophic-orthogonal quasigroups // Quasigroups and Related Systems, 13. - 2005. - P.25-72.
G.B. Belyavskaya, T.V. Popovich Conjugate sets of loops and quasigroups. DC-quasigroups, Buletinul Academiei de tiine a Republicii Moldova. - 1(68). - 2012. - P.21-31.
Benett F.E. The spectra of a variets of quasigroups and related combinatorial designs // Descrete Mathematics, North-Holland, 77. - 1989. - P.29--50.
Evans T. A note on the associative law. // Journal London Math. Soc. - N.~25.1950. - P.196-201.
Коваль Р.Ф., Класифікація функційних рівнянь малої довжини на квазігрупових операціях// дисер. на здобуття наук. ступ. канд. фіз.-мат. наук, Вінниця, 2005.
Крайнічук Г.В. Класифікація та розв’язання квазігрупових функційних рівнянь типу (4;2) // Вісник ДонНУ, серія А: природничі науки. - N.1-2. - 2015. - C.53-63.
Krapez A., Zivkovic D., Parastrophically equivalent quasigroup equations // Publications de L'Institut Mathematique, Nouvelle serie. - 87(101). - 2010. - P. 39-58.
Krapez A., Simic S.K., Tosic D.V., Parastrophically uncancellable quasigroup equations // Aequat. Mathem. - 79. - 2010. - P.261-280.
Krstic S., Quadratic quasigroup identities (Serbocroatian) // PhD thesis, University of Belgrade. - 1985.
Kuczma M. Functional equations in a single variable. - Warszawa: PWN. - 1968.
Movsisyan Yu.M., Hyperidentities and Related Concepts, I. Arm. J. Math. 2. - 2017. - P.144-222.
Popovych T. On conjugate sets of quasigroup. Bulentinul Academiei de Stiinte a Repablicii Moldova. Mathematica. - 3(67). - 2011. - P.69-76.
Sade A. Quasigroupes obeissant a certains lois // Rev. Fac. Sci. Univ. Istambul, 2. - 1957. - P. 151-184.
Sade A. Produit direct-singulier de quasigroupes orthogonaux et anti-ab'eliens. // Ann. Soc. Sci. Bruxelles S'er. I, 74. - 1960. - P.91-99.
Сохацький Ф.М. Класифікація функційних рівнянь на квазігрупах // Український математичний журнал. - Т.56. - N4. - 2004. - C.1259-1266.
Sokhatsky F.M. Parastrophic symmetry in quasigroup theory // Visnyk DonNU, А: natural Sciences. - N.1-2. - 2016. - P.70-83.
Stein Sh.K. On the foundations of quasigroups // Trans. Amer. Soc. - 1957. - Vol.85. - N1. - P.228-256.
