Classification of binary quasigroup functional equations of the length four.
DOI:
https://doi.org/10.31558/1817-2237.2018.1-2.1Keywords:
group, quasigroup, loop, invertible operation, parastrophe, isotope, identity, functional equation, parastrophically-primary equivalenceAbstract
In this paper, the generalized functional equations of length four are classified. It is established that up to parastrophically-primary equivalence the generalized non-trivial functional equations without functional and individual constants of functional length one, two, three, four exist exactly 1, 3, 4, 19 respectively; their solutions are found on binary invertible functions of an arbitrary set. In addition, classifications of quasigroup identities of lengths 2 and 3 are given and the corresponding varieties defined by them are described: examples of quasigroups that distinguish one variety from another are found.References
Ацель Я., Домбр Ж. Функциональные уравнения с несколькими переменными // Перевод с англ. — М.: Физматлит., 2003. — 432 с.
Acz´el J. Vorlesungen ¨uber Functionalgleichungen und ihre Anwendungen // VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften. Berlin, 1961.— 331 p.
Acz´el J. Lectures on Functional Equations and their applications // New York and London: Academic Press. Series “Mathematics in Science and Engineering”: in 19 vol., 1966. — 510 p.
Acz´el J., Belousov V.D., Hossz´u M. Generalized associativity and bisymmetry on quasigroups // Acta. Math. Acad. Sci. Hung. — 11/1-2. — 1960. — С. 127–136.
Белоусов В.Д. Ассоциативные системы квазигрупп // Успехи мат. наук. — 13, 3 (81). — 1958. — 243 c.
Белоусов В.Д. Скрещенная изотопия квазигрупп // Квазигруппы и их системы, Кишинев: Штиинца. — 1990. — С. 14–20.
Белоусов В.Д. Парастрофно-ортогональные квазигруппы // Препринт Акад. наук Молдавской ССР, Изд. Штиинца, Кишинев. — 1983. — 50 с.
Belousov V. D. Parastrophic-orthogonal quasigroups // Quasigroups and Related Systems, 13. — 2005. — P. 25–72.
Benett F.E. The spectra of a variets of quasigroups and related combinatorial designs // Descrete Mathematics, North-Holland, 77. — 1989. — P. 29–50.
Evans T. Algebraic structures associated with Latin squares and orthogonal arrays // Proc. Conf. Algebraic Aspects of Combinatorics, Congressus Numerantium 13. — 1975. — P. 31–52.
Kannappan Pl. Functional Equations and Inequalities with Applications // Springer Monographs in Mathematics. Boston, MA: Springer-Verlag US, 2009. — 810 p.
Коваль Р. Ф. Класифiкацiя квадратичних функцiйних рiвнянь малої довжини на квазiгрупах // Науковий часопис НПУ iм. М. П. Драгоманова. Фiзико-математичнi науки. — 2004. — № 5. — С. 111–127.
Коваль Р. Ф. Класифiкацiя функцiйних рiвнянь малої довжини на квазiгрупових операцiях // дисер. на здобуття наук. ступ. канд. фiз.-мат. наук, Вiнниця: ВДПУ iменi Михайла Коцюбинського, 2005. — 133 c.
Крайнiчук Г.В. Класифiкацiя та розв’язання квазiгрупових функцiйних рiвнянь типу (4;2) // Вiсник Донецького нацiонального унiверситету, Сер. А: природничi науки. — N. 1–2. — 2015. — C. 53–63.
Крайнiчук Г. В. Класифiкацiя квазiгрупових функцiйних рiвнянь типу (3; 3; 0) // Вiсник Донецького нацiонального унiверситету. Сер. А: Природничi науки. — 2016. — № 1/2. — C. 33–41.
Крайнiчук Г. В. Класифiкацiя бiнарних квазiгрупових функцiйних рiвнянь i тотожностей довжини три // Вiсник Донецького нацiонального унiверситету. Сер. А: Природничi науки. — 2017. — № 1/2. — C. 37–66.
Krainichuk H., Sokhatsky F. Solution and full classification of generalized binary functional equations of the type (3; 3; 0) // Bul. Acad. ¸Stiin¸te Repub. Mold. Mat. — 2018. — № 2(87) — P. 41–53.
Krapeˇz A., Zivkovi´c D. ˇ Parastrophically equivalent quasigroup equations // Publications de L’Institut Mathematique, Nouvelle serie. — 87(101). — 2010. — P. 39–58.
Krapeˇz A., Simi´c S. K., Toˇsi´c D. V. Parastrophically uncancellable quasigroup equations // Aequat. Mathem. — 79. — 2010. — P. 261–280.
Krape˘z A. Cryptographically Suitable Quasigroups via Functional Equations // In: S. Markovski and M. Gusev (Eds.): ICT Innovations 2012, AISC 207, Springer Verlag Berlin Heidelberg. — 2013. — P. 265–274.
Krape˘z A. Generalized quadratic quasigroup equations with three variables // Quasigroups Related Systems. — 2009. — Vol. 17. — P. 253–270.
Krsti´c S. Quadratic quasigroup identities (Serbocroatian) // PhD thesis, University of Belgrade. — 1985.
Movsisyan Yu.M. Hyperidentities and Related Concepts, I. Arm. J. Math. 2. — 2017. — P. 144–222.
Sade A. Produit direct-singulier de quasigroupes orthogonaux et anti-ab´eliens. // Ann. Soc. Sci. Bruxelles S´er. I, 74. — 1960. — P. 91–99.
Сохацький Ф.М. Класифiкацiя функцiйних рiвнянь на квазiгрупах // Український математичний журнал. — Т. 56. — N4. — 2004. — C. 1259–1266.
Sokhatsky F.M. Parastrophic symmetry in quasigroup theory // Visnyk DonNU, seria А: natural Sciences. — N. 1–2. — 2016. — P. 70–83.
Sokhatsky F. M., Krainichuk H. V. Solution of distributive-like quasigroup functional equations // Comment. Math. Univ. Carolin. — 2012. — Vol. 53, № 3. — P. 447–459.
Stein Sh.K. On the foundations of quasigroups // Trans. Amer. Soc. — 1957. — Vol.85. — N 1. — P. 228–256.
Чебан А.М. Некоторые системы квазигрупп с обобщёнными тождествами // Дисс. ... канд. физ.-мат. наук: 01.01.06. — Кишинёв, 1971. —85 с.
Shcherbacov V. A. Elements of Quasigroup Theory and Applications // London: Chapman and Hall/CRC. Chapman and Hall/CRC. — 2017. — 576 p.
